Les mathématiques du changement soudain
Dans le monde réel, les systèmes physiques peuvent subir des changements rapides et spectaculaires : refroidissez un liquide et il se cristallisera en solide ; chauffez un aimant et il perdra soudainement son magnétisme.
Mais il s’avère que ces changements brusques, appelés transitions de phase, se produisent aussi dans des contextes mathématiques abstraits. Lorsque les mathématiciens construisent un système simple avec seulement quelques règles, ils découvrent souvent qu’à un certain moment, des motifs surprenants apparaissent soudainement. Ces transitions de phase mathématiques offrent aux mathématiciens une fenêtre sur le fonctionnement des systèmes physiques réels, tout en leur fournissant des idées importantes sur la façon dont des comportements complexes peuvent émerger à partir de lois très simples.
Prenons la percolation, un modèle mathématique simplifié de la façon dont l’eau pourrait se déplacer à travers une éponge ou un autre matériau poreux. Commencez avec une grille infinie de points. Entre chaque paire de points adjacents, vous pouvez décider de tracer une ligne, ou arête. Utilisez une pièce truquée pour faire votre choix : si elle tombe sur pile (ce qui peut arriver avec une probabilité de 0,01 %, 1 % ou 10 %, selon la façon dont la pièce est truquée), tracez l’arête ; si c’est face, ne faites rien. Répétez ce processus pour chaque paire de points adjacents de la grille. Quels types de structures obtiendrez-vous probablement ? Plus précisément, quelle est la probabilité qu’un chemin infiniment long se forme sur la grille ?
La réponse dépend du poids de votre pièce. En dessous d’un certain poids critique, il est pratiquement impossible que la grille ait un chemin infini. (Dans le monde réel, l’eau resterait coincée dans l’éponge.) Mais si vous augmentez légèrement ce poids au-dessus de ce seuil, il devient impossible que la grille n’en ait pas. (L’eau traversera complètement.)
À ce seuil, une transition de phase se produit. Le comportement du système en dessous ou au-dessus du seuil est radicalement différent.
Bien que plus faciles à étudier que leurs équivalents réels, ces transitions de phase - qui apparaissent dans toutes sortes de systèmes mathématiques - révèlent comment l’ordre et le chaos peuvent coexister même dans les contextes les plus simples.
Nouveautés et faits marquants
De nombreuses questions sur la percolation restent ouvertes même après des décennies de progrès. En 2023, des mathématiciens ont déterminé précisément ce qui se passe au point de transition où l’état du système bascule - un calcul recherché depuis les années 1970. La même année, deux mathématiciens ont prouvé que, pour une certaine version tridimensionnelle de la percolation, il suffit d’étudier une partie de la grille pour comprendre l’ensemble. La structure locale de la grille contient assez d’informations sur ses propriétés globales.
Que se passe-t-il si les lancers de pièce ne sont pas indépendants, et que le résultat d’un lancer influence le suivant ? Cette situation offre aux mathématiciens une classe encore plus large de problèmes de percolation à explorer. Mais ceux-ci sont bien plus difficiles. Pendant un temps, le domaine était bloqué - jusqu’à ce que le travail novateur d’un mathématicien nommé Hugo Duminil-Copin le relance. Il a reçu la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, pour ce travail en 2022. Il a ensuite prouvé que beaucoup de ces systèmes présentent un ensemble puissant de symétries, appelées invariance conforme, à leur point critique.
Plus généralement, les transitions de phase apparaissent partout où il y a des probabilités. Vous pouvez utiliser une procédure similaire de lancer de pièce pour construire un graphe - un ensemble de points, ou nœuds, reliés par des arêtes - entièrement au hasard. Et il s’avère qu’une fois que vous ajoutez un certain nombre d’arêtes, toutes sortes de structures apparaissent soudainement. Passez un certain seuil, et vous pouvez garantir que votre graphe contiendra un triangle, ou une chaîne d’arêtes appelée chemin hamiltonien, ou pratiquement n’importe quel autre motif (tant que ce motif satisfait une propriété simple). En 2022, deux jeunes mathématiciens de l’Université Stanford ont prouvé une affirmation générale sur ces seuils, appelée la conjecture de Kahn-Kalai. Cette affirmation était si large que beaucoup pensaient qu’elle ne pouvait pas être vraie.
Les transitions de phase n’impliquent pas toujours des points et des arêtes, comme dans les graphes et les systèmes de percolation. Elles existent aussi en géométrie. Dans les années 1950, par exemple, le mathématicien John Nash a trouvé un point de transition net entre la douceur et la rugosité des formes. En particulier, il a étudié un processus par lequel les formes peuvent être froissées sans se plisser. Les mathématiciens continuent d’étudier les seuils où les formes se déforment et se transforment.
Dans tous ces cas, les transitions de phase attirent les mathématiciens vers la complexité du monde réel. En examinant ces points critiques de changement, les chercheurs peuvent étudier la frontière extrême de l’ordre mathématique, où simplicité et complexité se touchent.