élément irréductible de l'anneau des entiers relatifs

Comment les nombres premiers révèlent la structure cachée des mathématiques

1, 2, 3, 4, 5 — les mathématiques commencent par compter. Viennent ensuite l’addition, puis la multiplication. À première vue, elles semblent assez similaires. Après tout, la multiplication n’est qu’une simple addition répétée : 7 × 5 est une façon plus courte d’écrire 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.

Mais si vous regardez à l'intérieur des nombres pour voir de quoi ils sont faits, cette similitude initiale s'effondre. Essayez de partitionner n'importe quel nombre entier en parties plus petites en utilisant l'addition, et vous aurez un riche éventail d'options. Par exemple, 11 = 5 + 6 = 4 + 7 = 3 + 3 + 3 + 2. (Il existe 56 façons de diviser 11.) Au fur et à mesure que les nombres deviennent plus grands, le nombre de partitions augmente régulièrement . Mais si vous essayez plutôt de diviser les nombres en utilisant la multiplication, une image très différente émerge. Il existe de nombreuses façons de diviser 30 : il y a 3 × 10, 5 × 6 et 2 × 15. Mais 31 ne peut pas du tout être divisé. Il est premier. Ses seuls facteurs sont lui-même et 1.

Cette distinction entre addition et multiplication est l'un des passages les plus doux vers le désert des mathématiques abstraites. La définition des nombres premiers implique la multiplication. Mais les nombres premiers forment également des motifs additifs à la texture mystérieuse.

Beaucoup de ces modèles ont motivé les plus grands problèmes mathématiques en suspens. Par exemple, les mathématiciens soupçonnent qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux — des nombres premiers (multiplicatifs) qui diffèrent de 2 (additifs), comme 29 et 31 ou 41 et 43. Mais personne n'a pu le démontrer avec certitude. De même, les mathématiciens pensent que tout nombre pair supérieur à 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers, un problème appelé la conjecture de Goldbach. Cela aussi reste à prouver.

Mais de nombreux autres faits sont bien établis. Il existe une infinité de nombres premiers. Les mathématiciens continuent d' apporter de nouvelles preuves de ce fait, même si c'est l'un des résultats les plus anciens des mathématiques. On sait aussi que les nombres premiers se raréfient le long de la droite numérique. En 1896, Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin ont prouvé indépendamment le théorème des nombres premiers, qui établit une très bonne estimation de leur rareté. Ce théorème est l'un des résultats fondamentaux de la théorie analytique des nombres, une branche des mathématiques qui relie l'étude des nombres entiers à celle des fonctions à évolution régulière.

Quoi de neuf et d'intéressant

À première vue, les nombres entiers et les fonctions n’ont pas grand-chose à voir les uns avec les autres. Pourtant, le lien qui les unit est profond. L’un de ses aspects les plus fascinants est l’hypothèse de Riemann, sans doute la question ouverte la plus importante (et la plus difficile à résoudre) des mathématiques modernes.

En apparence, l'hypothèse n'a rien à voir avec les nombres premiers : elle concerne le comportement d'une somme infinie qui n'implique pas directement de nombres premiers. Mais si elle est vraie, les mathématiciens auront un moyen de rendre compte des écarts par rapport aux prédictions du théorème des nombres premiers. Les nombres premiers semblent être dispersés au hasard parmi les entiers, mais l'hypothèse de Riemann fournit une sorte de clé gnomique qui explique pourquoi ils apparaissent à ce moment-là.

En mai, James Maynard et Larry Guth ont prouvé une nouvelle limite sur les exceptions possibles à l'hypothèse. (Les physiciens ont aussi des idées sur la façon de s'y prendre.) L'année dernière, trois étudiants de Maynard ont prouvé un nouveau résultat sur la façon dont les nombres premiers sont distribués dans différents types de compartiments mathématiques. D'autres axes de travail examinent encore la façon dont les nombres premiers sont distribués dans des intervalles plus courts .

On sait depuis longtemps que les nombres premiers forment des amas, parfois ils laissent de grands espaces entre eux, parfois de petits. En 2013, Yitang Zhang, alors mathématicien inconnu, a prouvé qu'il existe un nombre infini de nombres premiers séparés par moins de 70 millions de nombres. Ce fut la première étape importante vers la démonstration qu'il existe un nombre infini de nombres premiers jumeaux : 70 millions, bien que ce soit un nombre important, est fini.

Quelques mois plus tard, une collaboration incluant Maynard a montré qu'il était possible de faire un peu mieux : ils ont réduit l'écart de 70 millions à 600 .

Tout aussi intéressante pour les mathématiciens est la question de savoir à quelle distance peuvent se trouver les nombres premiers. (Même si certains nombres premiers sont très proches les uns des autres, d'autres paires de nombres premiers adjacents sont très éloignées.) L'espacement moyen tend vers l'infini pour les grands nombres, mais les mathématiciens tentent de caractériser la vitesse à laquelle les écarts peuvent se creuser .

Les nombres premiers créent de nombreux modèles au-delà de la simple façon dont ils sont distribués. À l'exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs. Cela signifie que certains, comme 5, laissent un reste de 1 lorsqu'ils sont divisés par 4, tandis que d'autres, comme 11, laissent un reste de 3. Il s'avère que ces deux types différents de nombres premiers ont des comportements fondamentalement différents, un fait appelé réciprocité quadratique , qui a été prouvé pour la première fois par Carl Gauss au 19e siècle. La réciprocité est un outil de base pour les mathématiciens d'aujourd'hui. Par exemple, elle a joué un rôle clé dans une preuve l'été dernier sur la façon dont les cercles peuvent être regroupés.

La notion de nombre premier, ou indivisible, ne se limite pas aux nombres. Des expressions appelées polynômes, comme x ⁵ + 3 x ² + 1, peuvent également être premières. En 2018, deux mathématiciens ont montré que presque tous les polynômes d'une classe particulière sont premiers.

Au premier abord, il n'est pas évident de comprendre à quel point les nombres premiers sont spéciaux. En comptant, on a l'impression que 7 et 11 sont indivisibles, alors que les autres nombres ne le sont pas. Mais le simple fait de compter crée des structures subtiles et complexes qui permettent à chacun d'entrevoir la grandeur inexorable de la vérité mathématique.

Auteur: Internet

Info: https://us1.campaign-archive.com/?u=0d6ddf7dc1a0b7297c8e06618&id=1afb830f9a, Konstantin Kakaes, 19 aout 2024

[ tour d'horizon ]

blabla

La philosophie, c'est écouter des garçons branchés qui parlent à tort et à travers, c'est s'ennuyer comme jamais, plus qu'on l'aurait cru possible.

 

Auteur: Smith Zadie

Info: Ici des gens comme Raphaël Enthoven viennent à l'esprit.

[ parlotte ] [ casse-pieds  ] [ hors-sol ]

identité numérique

Cela me rappelle que ceux d'entre nous qui se détournent avec dégoût de ce qu'ils considèrent comme un sentiment de soi libéral-bourgeois hypertrophié devraient faire attention à ce qu'ils souhaitent : notre moi mis jour sur les réseaux ne semble guère plus indépendant, il a juste l'air plus manipulé ou sous contrôle.

Auteur: Smith Zadie

Info:

[ profil digital ] [ progrès ]

écriture

Le devoir d'un écrivain est de rendre compte de ce que c'est pour lui d'être dans le monde. 

Auteur: Smith Zadie

Info:

[ credo ] [ soliloque ] [ sincérité ]

réjouie

Entre joie et bienséance, choisis la joie.

Auteur: Smith Zadie

Info:

[ gaie ] [ rieuse ]

lecture

J'aime les livres qui ne sont pas faciles à lire. J'aime le sentiment d'inconfort. Le fait de se sentir impliqué.

Auteur: Smith Zadie

Info:

[ effort ] [ citation s'appliquant à ce logiciel ]

post-cybernétique

L’informatique quantique prête à transformer l’humanité : nous sommes à quelques pas de son moment " Spoutnik " !

L'un des principaux freins au développement de l'informatique quantique réside dans la complexité à réduire les erreurs induites. Pour soutenir cette technologie prometteuse, la société Riverlane produit des microprocesseurs qui rendent ses résultats plus fiables. D'énormes investissements dans ce domaine et les progrès réalisés montrent que l'informatique quantique pourrait bientôt atteindre un stade où elle pourra révolutionner de nombreux secteurs.

Du développement de nouveaux médicaments à la lutte contre le réchauffement climatique, l'informatique quantique attise des espoirs de progrès majeurs. Dans une rue commerçante de Cambridge, la course vers cette révolution technologique annoncée bat son plein.

Pour Steve Brierley, fondateur de la société Riverlane, basée dans la célèbre ville universitaire du centre de l'Angleterre, la technologie connaîtra dans les années qui viennent son moment " Spoutnik ", du nom du satellite soviétique dont le lancement en 1957 avait constitué une étape majeure de la conquête spatiale. " L'informatique quantique ne constituera pas seulement une légère amélioration par rapport aux précédents ordinateurs, ce sera un énorme pas en avant ", assure-t-il à l'AFP.

La complexité de la correction des erreurs quantiques

Son entreprise produit le premier microprocesseur dédié à cette technologie aux puissances de calcul gigantesques, qui détecte et corrige les erreurs freinant actuellement son développement. Fabriquer des appareils " à la hauteur des promesses incroyables de cette technologie nécessite un changement massif d'échelle et de fiabilité, ce qui nécessite des systèmes fiables de correction des erreurs ", explique John Martinis, ancien responsable du développement de cette technologie au sein du laboratoire Google Quantum AI.

Signe de l'intérêt pour les activités de Riverlane, et en général pour cette technologie comparée à l'intelligence artificielle (IA) pour ses bouleversements potentiels, la société a annoncé mardi 6 août avoir levé 75 millions de dollars (près de 69 millions d'euros) auprès d'investisseurs.

" D'ici deux à trois ans, nous pourrons atteindre des systèmes capables de supporter un million d'opérations sans erreurs ", contre un millier seulement actuellement, avance Earl Campbell, vice-président de Riverlane. Ce seuil, précise-t-il, est considéré comme crucial pour rendre les ordinateurs quantiques plus performants que leurs équivalents actuels.

Avec ses capacités de stimulation des interactions entre particules, atomes et molécules, la technologie est considérée comme susceptible de permettre le développement de médicaments révolutionnaires ou d'améliorer radicalement la production d'engrais, une industrie très émettrice de CO2. Elle pourrait ouvrir la voie à des batteries bien plus efficaces, au rôle clé dans la lutte contre le réchauffement climatique.

L'infinité d'états des qubits

La quantité d'informations que les ordinateurs quantiques peuvent exploiter augmente de manière exponentielle avec leur taille, contrairement aux appareils actuels. L'informatique classique repose en effet sur des données stockées sous la forme de bits, qui n'ont que deux états possibles (0 ou 1). Les ordinateurs quantiques, eux, utilisent des " qubits ", briques de base qui ont une infinité d'états possibles pouvant se superposer et s'enchevêtrer.

Mais ce fonctionnement qui utilise les extraordinaires propriétés de la matière à l'échelon atomique ou sub-atomique a un désavantage : leur comportement étrange rend nécessaire l'utilisation d'algorithmes complexes pour les traiter. Les qubits sont aussi très sensibles aux erreurs dues au bruit et résoudre ce problème sera " crucial ", souligne Steve Brierley, entouré d'oscilloscopes et circuits intégrés dans le laboratoire de son entreprise.

Les géants de l'informatique comme Google, IBM et Microsoft investissent des sommes énormes pour cette technologie et en particulier pour tenter de réduire les erreurs induites, soit en protégeant les appareils ou en utilisant des algorithmes pour détecter et corriger ces erreurs.

Tirer les leçons de l'IA

Vu cette complexité, l'intérêt de la technologie s'exprime surtout avec des ordinateurs de grande taille. Quand on augmente leur échelle, les possibilités offertes augmentent plus vite que les défauts à régler. Autrement dit, ces engins fonctionnent mieux pour des tâches complexes.

" On ne se servira certainement pas des ordinateurs quantiques pour envoyer des courriels ", sourit Steve Brierley. En revanche, " on pourra résoudre des problèmes qui seraient autrement insolubles ", ajoute-t-il. L'entrepreneur juge " très enthousiasmants " les résultats obtenus. " Le défi maintenant est de pouvoir passer à plus grande échelle ".

Les progrès actuels, en plus du potentiel d'une technologie susceptible de surmonter tous les systèmes de cryptage existants et créer de nouveaux matériaux, attirent déjà l'attention des régulateurs. Steve Brierley juge " très important de tirer les leçons de l'IA pour ne pas se retrouver surpris par cette technologie et réfléchir très tôt à ses implications ".

" Je pense que l'informatique quantique finira par être régulée, car c'est une technologie très importante, relève-t-il. Et je pense qu'il s'agit d'une technologie pour laquelle aucun gouvernement ne veut passer en second ".

Auteur: Internet

Info: futura-sciences.com, 18 août 2024

[ anticipation ]

autosatisfaction

"Un peu de doute sur soi est une bonne chose", souligna Jia, "mais pas un doute excessif. Il peut arriver que nous soyions à la hauteur des histoires que les autres racontent sur nous." 

Auteur: Liu Ken

Info:

[ danger ] [ introspection ]

théorie-pratique

Paroles et actes doivent être interprétés à la lumière de l'intention.

Auteur: Liu Ken

Info:

[ dessein directeur ] [ cohérence ] [ sagesse ]

femme-par-homme

Un court moment, en l'écoutant, j'eus l'impression de pouvoir franchir la distance qui nous séparait et d'entendre l'écho du monde à travers ses oreilles, de voir les étoiles à travers ses yeux :  austère clarté qui m'a fait bondir le cœur.

Auteur: Liu Ken

Info: An Advanced Readers' Picture Book of Comparative Cognition"

[ fascinante ] [ ensorcelante ] [ éblouissement ]