Les mathématiques sont-elles principalement du chaos ou principalement de l’ordre ?

Deux nouvelles notions de l’infini remettent en question un projet de longue date visant à définir l’univers mathématique.

Dans les brumes glacées du cercle arctique, un groupe de mathématiciens s’est réuni, non pour affronter les pistes de ski, mais pour sonder les abîmes de l’infini. Parmi eux, Juan Aguilera,  théoricien des ensembles viennois, s’est attardé dans la chaleur d’une cafétéria, mordillant une pâtisserie finlandaise tout en discutant avec passion de deux nouvelles formes d’infini. Ces concepts, pensait-il, pourraient bouleverser notre compréhension de l’univers mathématique, même si leurs conséquences restent voilées d’incertitude.

Depuis Cantor, l’infini n’est plus une abstraction monolithique, mais une hiérarchie vertigineuse de grandeurs. Les ensembles infinis, loin d’être uniformes, se déclinent en une multitude de " cardinaux", chaque étage de cette tour représentant une immensité plus vaste que le précédent. Les théoriciens des ensembles  ont, au fil des décennies, ajouté à cette structure des cardinaux de plus en plus exotiques, mais toujours ordonnés selon une hiérarchie étonnamment harmonieuse. Cette tour, semblable à une cathédrale de l’esprit, semblait jusqu’alors défier le chaos, chaque nouvel axiome renforçant la cohérence de l’édifice.

Mais voici que les deux nouveaux cardinaux, forgés par Aguilera, Joan Bagaria et Philipp Lücke, refusent de se fondre dans l’ordre établi. Leur apparition provoque une " explosion " conceptuelle : en les combinant à d’autres cardinaux plus petits, on obtient soudain des infinis d’une ampleur insoupçonnée, défiant la logique hiérarchique traditionnelle. Ce phénomène inédit laisse entrevoir un paysage mathématique bien plus sauvage, où l’ordre cède la place à une complexité foisonnante, voire au chaos.

Cette découverte ranime un vieux débat : l’univers mathématique est-il fondamentalement ordonné ou dominé par le chaos ? La majorité des mathématiciens bâtissent leurs preuves sur un socle d’axiomes (la théorie ZFC), acceptés par convention. Mais Gödel a démontré, dès 1931, que tout système d’axiomes suffisamment riche porte en lui l’ombre de son incomplétude : il existera toujours des vérités inaccessibles à la démonstration, à moins d’ajouter sans cesse de nouveaux axiomes. Ainsi, la quête d’une description exhaustive de l’univers mathématique — que les théoriciens des ensembles nomment V — s’apparente à l’ascension d’une montagne dont le sommet se dérobe sans cesse.

Hugh Woodin, figure majeure du domaine, rêve d’un modèle ultime (Ultimate L) qui engloberait tous les cardinaux et ordonnerait l’infini. Mais ce rêve repose sur l’hypothèse que l’univers est " proche de HOD " (hereditarily ordinal definable - modélisable par ordre héréditaire), c’est-à-dire que tout y serait, en principe, définissable et ordonné. Jusqu’à présent, aucune découverte n’avait sérieusement ébranlé cette conviction. Mais les nouveaux cardinaux d’Aguilera et ses collègues semblent ouvrir une brèche : ils suggèrent que le chaos pourrait prévaloir, que l’univers mathématique regorge d’entités insaisissables, analogues à la matière noire de notre cosmos physique.

Pourtant, la prudence demeure de mise. Les preuves de la cohérence de ces nouveaux cardinaux avec les axiomes classiques sont encore expérimentales, et l’histoire de la théorie des ensembles est jalonnée de surprises et de retournements. Woodin lui-même, tout en saluant la nouveauté, rappelle la nécessité d’une rigueur extrême avant de proclamer la victoire du chaos sur l’ordre.

En définitive, l’article esquisse le portrait d’une discipline à la frontière de l’inconnu, où chaque découverte révèle de nouveaux territoires à explorer. L’ordre et le chaos s’y livrent une lutte silencieuse, et le vertige de l’infini continue d’attirer les esprits les plus aventureux. Comme le confie Aguilera, " les mathématiques sont infinies, mais le temps ne l’est pas " — et il reste tant à conquérir.