Le style est l'empreinte de l'homme.

Dans un certain sens l'homme est un microcosme de l'univers ; donc l'homme est une idée de l'univers. Nous sommes enveloppés dans l'univers.

Mais la véritable gloire de la science réside dans le fait que nous puissions trouver un mode de pensée qui rende évident telle loi ou tel principe.

La science-fiction, parce qu'elle s'aventure dans le no man's land, tend à répondre à certaines des exigences posées par Jung dans ses explorations sur les archétypes, les structures mythiques et la compréhension de soi. Il se peut que le principal attrait de la science-fiction soit qu'elle nous aide à comprendre ce que signifie être humain.

Le concept du filet d'Indra en tant que métaphore cosmologique est un puissant rappel de la relation symbiotique entre toutes les entités dans le bouddhisme Hua-yen. Il ne s'agit pas simplement d'une illustration poétique, mais d'une explication fondamentale de la réalité : chaque point de lumière, chaque perle, non seulement existe en elle-même, mais ne peut se concevoir que dans la relation avec les d'autres. Si l'on retire une perle, tout le réseau en est affecté. L'illusion de la séparation entre les entités individuelles et l'univers est dissipée, car chaque chose est à la fois unique et une facette de l'ensemble.

Le mystère véritable ne se comporte pas de façon cachée ou secrète ; il parle un langage secret, il s'affiche au moyen d'une variété d'images qui indiquent toutes sa véritable nature. Je ne parle pas d'un secret gardé personnellement par quelqu'un, dont le contenu est connu de son possesseur, mais d'un mystère, d'une matière ou d'une circonstance qui est "secrète", c'est-à-dire connue seulement par de faibles indices, mais essentiellement inconnue. La nature réelle de la matière était inconnue de l'alchimiste : il ne la connaissait que par allusions. En cherchant à l'explorer, il projetait l'inconscient dans les ténèbres de la matière pour l'éclairer. Pour expliquer le mystère de la matière, il projetait un autre mystère - son propre fond psychique - dans ce qui devait être expliqué : Obscurum per obscurius, ignotum per ignotius ! Ce procédé n'était bien sûr pas intentionnel, mais involontaire.

Les "sciences humaines" ne sont des sciences que par une flatteuse imposture. Elles se heurtent à une limite infranchissable, car les réalités qu'elles aspirent à connaître sont du même ordre de complexité que les moyens intellectuels qu'elles mettent en oeuvre. De ce fait, elles sont et seront toujours incapables de maîtriser leur objet.

Jusqu'au XIXe siècle au moins, la chance des sciences "dures" a été que leurs objets furent considérés comme moins complexes que les moyens dont l'esprit dispose pour les étudier. La physique quantique est en train de nous apprendre que cela n'est plus vrai et qu'à cet égard une convergence apparaît entre les différentes sciences (ou prétendues telles). Seulement, même si les réalités dernières du monde physique sont inconnaissables, le physicien parvient à découvrir entre elles des rapports exprimables en termes mathématiques, et dont des expériences lui permettent de démontrer l'exactitude.

Pour nous autres des sciences humaines, ces expériences sont hors de portée. Aussi, quand nous nous efforçons - et c'est le sens de l'entreprise structuraliste - de substituer, à la connaissance illusoire de réalités impénétrables, la connaissance - possible, celle-ci - des relations qui les unissent, nous en sommes réduits aux tentatives maladroites et aux balbutiements. 

La complexe magnificence du contrepoint de Bach, malgré une symétrie parfois trop apparente voire mécanique, m'émeut. Probablement parce qu'il y a ici la perception de notre petitesse, de nos limites au sein de l'extraordinaire intrication des choses de la nature. Et les cathédrales sonores du maître semblent sans frontières, à l'instar du cosmos. En poussant aussi loin l'art de la conjugaison des sons Bach a démontré la puissance et la beauté que peut produire l'intellect humain lorsqu'il fait coïncider passion et discipline de fer, sans crainte ni limitation aucune dans sa quête. Il a créé une sorte de monde intermédiaire, onirique, titanesque diamant scintillant de millions de facettes, facettes aux reflets changeants puisqu'animées par des interprètes de chair. Un monde mathématique soyeux qui préfigure de fait l'espace dodécaphonique qu'apportèrent Schoenberg, Berg et Webern, même si ce système stérile et trop austère est probablement arrivé trop tôt pour des humains pas encore assez éduqués ou raffinés. En captant notre esprit et en le libérant, ce monde intermédiaire de Bach nous fait entrevoir par contraste combien la vie est un combat lourd parce que subordonnée au poids de la chair dans sa lutte souvent trop répétitive et monotone de tous les jours.

Cette élévation spirituelle, en nous présentant quelque chose qui ressemble à l'immuable, révèle simultanément la grandeur de l'homme, et sa petitesse devant l'extraordinaire et raffiné équilibre, sans cesse mouvant, qu'offre la réalité ordonnée par ses sens. L'ordre des hommes est souvent haïssable parce que trop compréhensible. Celui de la nature merveilleux parce qu'infini et au-delà de notre compréhension. L'univers intermédiaire de Bach, développé humblement par un allemand puissant et équilibré qui voulait célébrer la création et surtout le Créateur, nous subjugue, nous bouleverse, et nous aide à vivre.

Un effort épique pour ancrer la physique dans les mathématiques révèle les secrets du temps

Au seuil du XXe siècle, David Hilbert, figure tutélaire des mathématiques, lançait un défi à la postérité : fonder la physique sur des axiomes aussi solides que ceux de la géométrie, et relier, par une chaîne logique ininterrompue, la danse invisible des atomes aux lois majestueuses qui régissent les fluides et les vents. Plus d’un siècle plus tard, ce rêve d’unification, longtemps relégué à l’horizon de l’impossible, vient de connaître un accomplissement éclatant.

Dans le théâtre microscopique, chaque particule d’un gaz évolue selon la rigueur implacable des lois de Newton : trajectoires réversibles, collisions élastiques, ballet d’une précision aveuglante. Mais à mesure que l’on s’élève dans l’échelle des descriptions, la multitude devient nuage, la singularité se dissout dans la probabilité : l’équation de Boltzmann, puis les équations de Navier-Stokes, prennent le relais pour décrire la matière non plus comme un chœur d’individus, mais comme une onde collective, fluide et continue. Or, un gouffre conceptuel séparait ces mondes : comment, à partir de lois fondamentalement réversibles, pouvait surgir l’irréversibilité, la flèche du temps, l’entropie qui croît et le désordre qui s’impose ?

C’est à ce mystère que se sont attaqués Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma. Leur œuvre, d’une virtuosité mathématique rare, a consisté à démontrer que, dans un gaz suffisamment dilué, les collisions multiples entre particules – ces " recollisions " qui menaçaient l’édifice logique – sont si improbables qu’elles deviennent négligeables, même sur de longues durées. Dès lors, l’équation de Boltzmann, qui gouverne la transition du chaos atomique vers l’ordre statistique, s’impose comme une conséquence inéluctable des lois de Newton. L’irréversibilité, loin d’être un artifice ou une illusion, émerge alors naturellement : le temps, à l’échelle macroscopique, acquiert une direction, non par décret, mais par la force du nombre et la tyrannie du probable.

Cette victoire intellectuelle ne se limite pas à une prouesse technique : elle éclaire d’une lumière neuve le mystère du temps lui-même. Si, dans l’intimité de la matière, le passé et le futur se valent, c’est la collectivité, la multitude, qui impose la marche en avant, la dissipation de l’ordre, l’avènement du futur. Ainsi, la science rejoint la poésie : de l’infinitésimal naît l’irréversible, et la mécanique des sphères cède la place à la mélodie du devenir.

En somme, cette démonstration consacre l’unité profonde de la nature : du choc silencieux des atomes à la houle des océans, de la symétrie du temps à son irrévocable fuite, tout procède d’un même tissu logique, patiemment tissé par la main humaine. Le rêve de Hilbert, enfin, s’incarne : la physique, enracinée dans la mathématique, dévoile la secrète architecture du monde et la source même de notre expérience du temps.







 

La lutte sans fin pour classer toutes les mathématiques

 Au XVIIIe siècle, la biologie était entièrement axée sur la taxonomie. L'incroyable diversité du vivant rendait difficile toute conclusion sur son apparition. Les scientifiques ont d'abord dû mettre les choses dans l'ordre, en regroupant les espèces selon des caractéristiques communes – une tâche ardue . Depuis, ils ont utilisé ces grands catalogues pour comprendre les différences entre les organismes et déduire leur histoire évolutive. Les chimistes ont construit le tableau périodique dans le même but : classer les éléments et comprendre leurs comportements. Et les physiciens ont élaboré le Modèle standard pour expliquer l'interaction des particules fondamentales de l'univers.

Dans son livre Les Mots et les Choses , le philosophe Michel Foucault décrit cette préoccupation pour le tri comme une étape fondatrice des sciences. " La connaissance des individus empiriques ", écrit-il, " ne peut s'acquérir que par la tabulation continue, ordonnée et universelle de toutes les différences possibles. "

Les mathématiciens n'ont jamais dépassé cette obsession . C'est parce que la ménagerie des mathématiques fait ressembler le catalogue biologique à une ferme pédagogique. Ses habitants ne sont pas limités par la réalité physique. Toute possibilité concevable, qu'elle existe dans notre univers ou dans un univers hypothétique à 200 dimensions, doit être prise en compte. Il existe une multitude de classifications différentes à essayer – groupes, nœuds, variétés, etc. – et une infinité d'objets à trier dans chacune de ces classifications. La classification permet aux mathématiciens de comprendre le monde étrange et abstrait qu'ils étudient et de prouver des théorèmes majeurs à son sujet.

Prenons l'exemple des groupes, un objet d'étude central en mathématiques. La classification des " groupes simples finis " – les éléments constitutifs de tous les groupes – a été l'une des plus grandes réalisations mathématiques du XXe siècle. Il a fallu près de 100 ans à des dizaines de mathématiciens pour la mener à bien. Ils ont finalement découvert que tous les groupes simples finis se répartissent en trois catégories , à l'exception de 26 valeurs aberrantes détaillées. Une équipe de mathématiciens dévoués travaille sur une preuve " condensée " de la classification depuis 1994 ; elle comprend actuellement 10 volumes et plusieurs milliers de pages, et n'est toujours pas terminée. Mais cette entreprise gigantesque continue de porter ses fruits, contribuant récemment à prouver une conjecture vieille de plusieurs décennies selon laquelle on peut déduire beaucoup de choses sur un groupe en examinant une petite partie de celui-ci.

Les mathématiques, libérées des contraintes habituelles de la réalité, sont une question de possibilités. La classification offre aux mathématiciens un moyen d'explorer ce potentiel illimité.

Nouveautés et points importants

La première classification mathématique que nous apprenons à l'école primaire consiste à catégoriser les nombres : en nombres positifs et négatifs, ou en nombres fractionnaires (les rationnels) et en nombres non fractionnaires (les irrationnels). Dans un récent article de Quanta , Erica Klarreich décrit combien il peut être extrêmement difficile de prouver qu'un nombre donné est irrationnel , même si les mathématiciens le soupçonnent. Il existe également de nombreux autres types de nombres que les mathématiciens aiment étudier.

Dans d'autres domaines, les mathématiciens classent les objets selon leur " équivalence " d'une certaine manière. En topologie, deux formes sont identiques, et appartiennent donc à la même classe, si l'une peut être étirée ou comprimée dans l'autre sans se casser ni se déchirer. Un beignet est identique à une tasse à café, mais différent d'une sphère. Mais il peut s'avérer extrêmement difficile de déterminer si des objets plus complexes (et de grandes dimensions) sont identiques. Les mathématiciens cherchent encore à déterminer si toutes les formes de certaines dimensions doivent être équivalentes à une sphère, par exemple, ou si des formes plus exotiques sont autorisées. " Après des siècles d'efforts concertés ", écrit Kevin Hartnett dans ce résumé topologique , " les mathématiciens sont loin d'avoir terminé. "

De même, la classification a joué un rôle important dans la théorie des nœuds. Faites un nœud dans une ficelle, puis collez les extrémités de la ficelle ensemble : c'est un nœud mathématique. Les nœuds sont équivalents si l'un peut être emmêlé ou démêlé, sans couper la ficelle, pour correspondre à l'autre. Cette tâche, d'apparence banale, a de nombreuses applications mathématiques . En 2023, cinq mathématiciens ont progressé sur une conjecture clé de la théorie des nœuds, selon laquelle tous les nœuds ayant une certaine propriété (ce qui est " tranche " - slice) doivent également en avoir une autre (être " ruban " - ribbon), avec une preuve éliminant un contre-exemple présumé. (Soit dit en passant, je me suis souvent demandé pourquoi les théoriciens des nœuds insistent pour utiliser des noms comme adjectifs).

Les classifications peuvent aussi devenir plus méta. Les informaticiens théoriciens et les mathématiciens classent les problèmes de classification en fonction de leur " difficulté " .

Toutes ces classifications transforment l'infinitude désordonnée des mathématiques en un ordre accessible. Un premier pas vers la maîtrise du déluge qui se déverse des imaginations mathématiques.