Pour de grands nombres comme pi, je divise les décimales en plus petites sections. La taille des segments varie, selon la décimale. Par exemple, si un nombre brille beaucoup dans ma tête et que le suivant est très sombre, je vais les visualiser séparément, alors qu’un nombre lisse suivi par un autre nombre lisse sera en continuité avec lui. À mesure que la suite décimale grandit, mon paysage numérique devient plus complexe et plus riche jusqu’à ce que – comme dans le cas de pi – il devienne un pays entier dans mon esprit, exclusivement composé de nombres.

La force de l’image en rêve à quelque chose de paradoxal : elle repose sur une fascination, mais c’est justement par là qu’elle échappe au visible. Car le visible vit d’inspections, de parcours, de lacunes et non pas d’enfoncement dans la certitude de l’image fixe. L’image de rêve, elle, est toujours complète et absolue parce qu’elle n’est pas une image mais une "idée" d’image. Et une idée ne souffre ni de flou, ni d’incomplétude, ni d’aucune des servitudes du visible. Elle n’est jamais jaunie, ni froissée, ni friable. Elle se donne d’emblée comme une totalité parfaite, faisant ainsi oublier qu’on ne peut pas la détailler. Un exemple classique de cette impossibilité rappelée par Sartre, c’est l’incapacité où l’on se trouverait, face à une image mentale ou onirique du Panthéon, d’en compter les colonnes.

Il nous est facile pour d'expliquer ce que l'on voit sur une photo, mais programmer une fonction qui n'entre rien d'autre que les couleurs de tous les pixels d'une image et peut produire une légende précise telle que "groupe de jeunes gens jouant une partie de frisbee" échappait à tous les chercheurs en IA du monde depuis des décennies. Pourtant, une équipe de Google dirigée par Ilya Sutskever y est parvenu en 2014.

Introduisez un nouvel ensemble de pixels de couleur, et l'ordinateur répond "troupeau d'éléphants traversant un champ d'herbe sèche",  presque toujours correctement. Comment y sont-ils parvenus ? À la manière de Deep Blue, en programmant des algorithmes artisanaux pour détecter les frisbees, les visages, etc ?

Non, en créant un réseau neuronal relativement simple, sans la moindre connaissance du monde physique ou de son contenu, puis en le laissant apprendre en l'exposant à des quantités massives de données. Le visionnaire de l'IA Jeff Hawkins écrivait en 2004 qu'"aucun ordinateur ne pourrait... voir aussi bien qu'une souris", mais cette époque est désormais révolue.

Maryam Mirzakhani était mathématicienne, mais elle oeuvrait  comme une artiste, toujours en train de dessiner. Elle aimait s'accroupir sur le sol avec de grandes feuilles de papier, les remplissant de gribouillages : figures florales répétées et corps bulbeux et caoutchouteux, leurs appendices coupés proprement, comme les habitants d'un dessin animé, égarés,  de Miyazaki. L’un de ses étudiants diplômés de l’Université de Stanford a déclaré que Mirzakhani décrivait les problèmes mathématiques non pas comme des énigmes logiques intimidantes mais comme des tableaux animés. "C'est presque comme si elle avait une fenêtre sur le paysage mathématique et qu'elle essayait de décrire comment les choses qui y vivaient interagissaient les unes avec les autres", explique Jenya Sapir, aujourd'hui professeure adjointe à l'Université de Binghamton. "Pour elle, tout arrive en même temps."

Mirzakhani a grandi à Téhéran avec le rêve de devenir écrivain. En sixième année, elle a commencé à Farzanegan, une école pour les filles les plus douées de la ville, et a obtenu les meilleures notes dans toutes ses classes, à l'exception des mathématiques. Vers la fin de l'année scolaire, l'instructeur lui a rendu un test de mathématiques noté 16 sur 20, et Mirzakhani l'a déchiré et a fourré les morceaux dans son sac. Elle a dit à une amie qu’elle en avait assez en mathématiques : " Je ne vais même pas essayer de faire mieux. " Mirzakhani, cependant, était constitutionnellement incapable de ne pas essayer, et elle tomba bientôt amoureuse de la poésie épurée du sujet. Alors qu'elle était au lycée, elle et sa meilleure amie, Roya Beheshti, sont devenues les premières femmes iraniennes à se qualifier pour l'Olympiade internationale de mathématiques, et l'année suivante, en 1995, Mirzakhani a remporté une médaille d'or avec un score parfait.

Mirzakhani a déménagé aux États-Unis à l'automne 1999 pour poursuivre ses études supérieures à Harvard. Sa passion était la géométrie et elle était particulièrement attirée par les " surfaces hyperboliques ", qui ont la forme de chips Pringles. Elle a exploré un univers extrême dans son abstraction – avec des " espaces de modules ", où chaque point représente une surface – et des dimensions qui dépassent les nôtres. D'une manière ou d'une autre, Mirzakhani était capable d'évoquer des aspects de tels espaces à considérer, en griffonnant sur une feuille de papier blanc pour essayer une idée, s'en souvenir ou en rechercher une nouvelle ; ce n'est que plus tard qu'elle transcrira ses aventures dans les symboles conventionnels des mathématiques. "on ne veut pas écrire tous les détails ", a-t-elle dit un jour à un journaliste. "Mais le processus du dessin de quelque chose vous aide d'une manière ou d'une autre à rester connecté." Son doctorat : thèse commencée en dénombrant des boucles simples sur des surfaces, a conduit à un calcul du volume total des espaces de modules. Cela a permis à la jeune chercheuse de publier trois articles distincts dans des revues mathématiques de premier plan, dont l'un contenait une nouvelle preuve surprenante de la célèbre " conjecture de Witten ", une étape importante dans la physique théorique reliant les mathématiques et la gravité quantique. Les mathématiques de Mirzakhani sont appréciées pour leurs grands sauts créatifs, pour les liens qu'elles ont révélés entre des domaines éloignés, pour leur sens de la grandeur.

Lorsque Jan Vondrak, qui deviendra son mari, la rencontre en 2003, il ne savait pas, dit-il, qu'" elle était une superstar ". Mirzakhani terminait ses études à Harvard et Vondrak, aujourd'hui professeur de mathématiques à Stanford, étudiait au MIT ; ils se sont rencontrés lors d'une fête, chacun reconnaissant une âme sœur qui n'aimait pas particulièrement les fêtes. Vondrak l'a initiée au jazz et les deux ont fait de longues courses le long de la rivière Charles. Mirzakhani était à la fois modeste – Vondrak a appris de ses nombreuses réalisations grâce à des amis communs – et extrêmement ambitieuse. Vondrak se souvient de ses rêves de découvertes futures dans l'espace des modules, mais aussi de sa détermination à explorer des domaines plus lointains, comme la théorie des nombres, la combinatoire et la " théorie ergodique ". Elle avait, selon Vondrak, " 100 ans de projets ".

Il y a trois ans, Mirzakhani, 37 ans, est devenue la première femme à remporter la médaille Fields, le prix Nobel de mathématiques. La nouvelle de cette récompense et le symbolisme évident (première femme, première Iranienne, immigrante d'un pays musulman) la troublaient. Elle fut très perplexe lorsqu’elle a découvert que certaines personnes pensaient que les mathématiques n’étaient pas pour les femmes – ce n’était pas une idée qu’elle ou ses amis avaient rencontrée en grandissant en Iran – mais elle n’était pas encline, de par sa personnalité, à dire aux autres quoi penser. À mesure qu’elle devenait une célébrité parmi les Iraniens, les gens l’approchaient pour lui demander une photo, ce qu’elle détestait. La médaille Fields a également été annoncée alors qu'elle venait de terminer un traitement épuisant contre le cancer du sein.

En 2016, le cancer est réapparu, se propageant au foie et aux os de Mirzakhani. Tous ceux qui ont connu Mirzakhani la décrivent comme étant d’un optimisme inébranlable ; ils quittaient toujours les conversations avec un sentiment d'énergie. Mais finalement, il est devenu impossible pour Mirzakhani de continuer ce que sa jeune fille, Anahita, appelait sa " peinture ". Lors d'un service commémoratif à Stanford, Curtis McMullen, directeur de thèse de Mirzakhani et président du département de mathématiques de Harvard, a déclaré que lorsqu'elle était étudiante, elle venait à son bureau et posait des questions qui étaient " comme des histoires de science-fiction ", des scènes vivantes qu'elle avait entrevues. dans un coin inexploré de l’univers mathématique – des structures étranges et des motifs séduisants, tous en mouvement et interconnectés. Puis elle le regardait de ses yeux bleu-gris. " Est ce bien? " demandait-elle, comme s'il pouvait connaître la réponse.

Les mathématiques, c'est penser autrement

Jusqu’à il y a un peu plus d’un an, j’étais physicien expérimental. J’utilisais les mathématiques en permanence, donc on pourrait s’attendre à ce que devenir journaliste spécialisé en mathématiques soit tout à fait dans ma zone de confort. À bien des égards, c’est vrai. Mais  ma nouvelle planète intellectuelle ressemble quand même à un monde étranger.

Dans mon ancienne vie, j’étudiais les objets physiques et les phénomènes mesurables. Les mathématiques étaient un ensemble d’outils qui me permettaient de le faire. Je me moquais de mes amis théoriciens qui, au lieu de me dire sur quoi ils avaient " travaillé " récemment, me disaient à quoi ils avaient " pensé ". Ce qui m'évoquait des images de gens allongés à leur bureau toute la journée, la tête penchée en arrière, les yeux plissés vers le plafond, l’esprit quelque part dans la stratosphère. Aujourd’hui, tous ceux que j’interviewe parlent de leurs recherches de la même manière.

Le type de mathématiques sur lequel se concentrent les mathématiciens est très différent de la boîte à outils que j’utilisais en tant que physicien. Leur travail est profondément motivé par les notions humaines de beauté et d’abstraction, et consiste à pousser la logique pure à ses limites. Les expériences et les observations peuvent aider les mathématiciens à comprendre, mais en fin de compte, ils n’acceptent pas quelque chose comme mathématiquement vrai tant qu’ils ne peuvent pas élaborer un argument rigoureux qui le prouve. Comme un mathématicien me l’a récemment assuré : " Il n’existe aucune preuve rigoureuse que quelqu’un ne peut pas vivre plus de mille ans. C’est seulement un fait empirique. "

Cette insistance sur la rigueur conduit parfois à des preuves de phénomènes apparemment impossibles. Le paradoxe de Banach-Tarski, par exemple, dit que l’on peut briser une boule en morceaux et l’utiliser pour créer deux boules identiques à l’originale. Pour mon cerveau de physicien, voilà qui ressemble à la création de matière à partir de rien, mais c’est mathématiquement vrai, sans aucun doute – et magnifique aussi.

J’apprécie cette façon rigoureuse de penser. Une chose qui ne me manque pas en physique, c’est le terrain théorique instable sur lequel on se tient souvent lorsque l’on essaie de suivre un cours ou un exposé. Les mathématiques sont si solides, si dépourvues de tout gesticulation. D’une certaine manière, la vérité mathématique est faite d’un matériau plus solide que les boulons d’acier d’une bride à vide que je passais mes journées à serrer.

La pensée mathématique peut sembler excessivement exigeante, mais elle est importante. À la fois art et science, elle met en valeur le pouvoir de la créativité humaine tout en dévoilant les mystères du monde qui nous entoure. Elle a même toutes sortes d’applications pratiques : les abstractions mathématiques autrefois considérées comme inutiles jouent désormais un rôle crucial dans la cryptographie, la chimie, l’ingénierie, l’apprentissage automatique et bien plus encore. Mais au fond, les mathématiques sont une question d’exploration, de découverte, de beauté et de compréhension.

Voici quelques-unes des histoires mathématiques de Quanta de 2024 qui ont aidé à m’adapter à ce nouveau monde, souvent en remettant en question ce que je pensais être les mathématiques.

Histoires qui ont changé ma façon de penser les mathématiques

Une grande partie de ma compréhension de ce que sont les mathématiques et de la façon dont pensent ses praticiens vient de la lecture des explications et des questions-réponses de Quanta . Si vous m'aviez demandé il y a un an comment définir correctement la racine carrée de 2, j'aurais été confus - c'est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie par lui-même, est égal à 2 ! Mais après avoir lu l'explication de Jordana Cepelewicz , je vois comment les mathématiciens doivent tout définir, y compris les nombres, de manière concrète en termes d'axiomes et de théorèmes bien établis. Ainsi, la racine carrée de 2 exige une définition plus rigoureuse.

On entend souvent dire que Galilée a déclaré que l'univers " est écrit dans le langage des mathématiques ", mais je n'avais pas envisagé que des langages mathématiques distincts puissent décrire le même univers jusqu'à ce que je lise cette séance de questions-réponses avec Claire Voisin . Elle y explique comment les mathématiciens s'efforcent toujours de traduire entre différents langages mathématiques - entre, par exemple, le langage de l'algèbre et le langage de la géométrie - pour obtenir de nouvelles perspectives. Les physiciens utilisent souvent des descriptions différentes pour essayer de comprendre la même réalité fondamentale, l’idée étant qu’aucune description n’est plus " réelle " qu’une autre. Je n’aurais jamais imaginé que le langage mathématique puisse fonctionner de la même manière.

À l’époque où j’étais physicien, j’étais généralement coincé dans les trois dimensions (sans compter le temps). Libérés des limites de la réalité physique, les mathématiciens peuvent s’élever dans des plans supérieurs remplis d’objets qui dépassent même leur propre compréhension. Ils ne peuvent que palper les bords de ces formes, souvent en observant des formes plus simples, de dimensions inférieures, qui y sont intégrées. Cette année, les mathématiciens ont trouvé des encastrements plus étranges et plus riches qu'ils ne l'auraient cru possible, montrant que le monde quadridimensionnel est encore plus étrange qu'ils ne le pensaient.

Un article d’actualité mathématique de 2024 a vraiment captivé mon cœur, en partie parce que je suis un ornithologue passionné, mais aussi parce qu’il montre comment les mathématiques, comme les autres sciences, regorgent de découvertes accidentelles. Lyndie Chiou a fait un reportage plus tôt cette année sur des modèles mathématiques mystérieux appelés murmurations, ainsi nommé en raison de la ressemblance entre les motifs et les magnifiques ondulations qui se forment dans les volées d'étourneaux. Ce motif a été découvert par un étudiant de premier cycle nommé Alexey Pozdnyakov lorsqu'il a utilisé une base de données publique d'équations pour tracer un graphique qui ne viendrait jamais à l'esprit d'un théoricien des nombres chevronné. Les étranges ondulations qu'il a vues dans ce graphique, loin de se limiter à ces équations, se sont depuis révélées omniprésentes dans la théorie des nombres et au-delà. Lors d'un récent atelier auquel j'ai assisté sur le sujet à l'université de Stony Brook, le théoricien des nombres Andrew Sutherland du Massachusetts Institute of Technology a montré le graphique de Pozdnyakov et l'a comparé à " la découverte de moisissures dans la boîte de Petri pour découvrir la pénicilline ".

Grâce à ces histoires, mon assise en mathématiques est un peu plus stables et j'ai hâte de voir quelles nouvelles percées nous réserve 2025. 

Construire de meilleures cartes mentales

Des techniques innovantes d'analyse de la fonction et de la structure cérébrales révèlent des détails remarquables de l'architecture neuronale, offrant ainsi de nouvelles pistes pour le diagnostic et le traitement des maladies cérébrales.

Bien que le cerveau humain soit un objet de fascination scientifique depuis des siècles, nous ne faisons qu'effleurer la surface en termes de compréhension de sa fonctionnalité et de sa complexité. Nous connaissons bien les zones fonctionnelles générales du cerveau, mais la manière dont ce réseau interconnecté de neurones traite et transmet les informations pour donner naissance à la pensée et à la mémoire reste un domaine de recherche très actif.

L'étude du fonctionnement du cerveau au niveau physiologique fondamental est l'un des domaines de recherche les plus difficiles, nécessitant de nouvelles méthodes d'expérimentation et de détection de l'activité cérébrale à l'échelle neuronale. Les progrès récents des techniques d'imagerie cérébrale et la compréhension de la structure fine du cerveau ont permis d'explorer les fonctions cérébrales d'une nouvelle manière. Ces découvertes ont des répercussions sur la santé du cerveau et l'intelligence artificielle.

Cerveau/ESPRITS et au-delà

Les projets japonais Brain Mapping by Integrated Neurotechnologies for Disease Studies (Brain/MINDS) et Strategic International Brain Science Research Promotion Program (Brain/MINDS Beyond), qui font partie de plusieurs projets nationaux de recherche à grande échelle sur le cerveau lancés ces dernières années dans le monde entier, visent à étudier les circuits neuronaux qui sous-tendent les fonctions cérébrales supérieures. Il s'agit d'initiatives nationales auxquelles participent des dizaines d'institutions, chacune spécialisée dans un domaine particulier de l'étude du cerveau.

L'étude des primates non humains à l'Université de Tokyo et à l'Institut national des sciences et technologies quantiques (QST) est un domaine qui apporte de nouvelles connaissances sur l'architecture du cerveau.

"Lorsqu'il s'agit de comprendre le cerveau humain et les troubles qui peuvent l'affecter, seuls les autres primates partagent nos fonctions supérieures, telles qu'un cortex visuel hiérarchisé et un cortex préfrontal hautement développé responsable de la fonction exécutive et de la prise de décision", explique Takafumi Minamimoto, qui dirige le groupe des systèmes et circuits neuronaux du département d'imagerie cérébrale fonctionnelle de l'Institut national des sciences et technologies quantiques.

"La recherche sur le cerveau des primates est difficile et coûteuse, mais indispensable. Elle nous permet de mieux comprendre le fonctionnement du cerveau, ce qui peut nous aider à comprendre et à traiter les troubles cérébraux chez l'homme".

L'équipe de Minamimoto se concentre sur le développement de méthodes plus précises d'analyse des fonctions cérébrales. Leur plus grande réussite a été la mise au point d'une méthode chimiogénétique pour désactiver l'activité cérébrale au niveau d'un neurone unique, combinée à la tomographie par émission de positrons (TEP) - une technique d'imagerie pour des molécules spécifiques. Cela a permis de visualiser non seulement l'activité des neurones des primates, mais aussi leur connexion avec d'autres zones du cerveau.

"Avec la chimiogénétique, nous injectons une solution virale inoffensive dans une zone spécifique du cerveau pour modifier génétiquement les neurones afin de les rendre sensibles à un produit chimique suppresseur", explique Minamimoto. "Nous pouvons ensuite injecter le suppresseur afin d'éteindre les neurones modifiés pendant plusieurs heures".

L'équipe a récemment mis au point un produit chimique suppresseur 100 fois plus efficace, ce qui lui permet d'injecter de minuscules doses de ce suppresseur pour affecter sélectivement des groupes individuels de neurones et leurs connexions axonales. Ils ont utilisé cette technique pour réduire au silence des connexions spécifiques afin de découvrir les circuits responsables de la mémoire de travail et de la prise de décision.

Cette approche est également prometteuse pour le traitement des troubles cérébraux chez l'homme. Par exemple, comme modèle potentiel de traitement chez l'homme, le groupe a récemment rapporté que la chimiogénétique peut supprimer les crises d'épilepsie chez les macaques.

Le système visuel

Une autre équipe, située à l'université de Tokyo et dirigée par Kenichi Ohki, étudie la manière dont les informations visuelles sont traitées chez les primates, dont le cortex visuel est très développé et hiérarchisé. Les recherches du groupe sur les ouistitis utilisent une technique d'imagerie calcique à haute sensibilité qui permet de visualiser la façon dont des parties spécifiques du cerveau réagissent à différents stimuli.

"L'imagerie au calcium est une technique utilisée depuis longtemps pour observer le fonctionnement du cerveau chez les souris, mais elle n'était pas assez sensible pour visualiser des groupes discrets de neurones chez les primates avec la même qualité que chez les souris", explique M. Ohki. "En collaboration avec Tetsuo Yamamori du RIKEN, nous avons mis au point une méthode améliorée qui a augmenté de manière significative l'expression de la protéine fluorescente GCaMP6 dans le cerveau des primates, ce qui, combiné à l'imagerie à deux photons basée sur le laser, nous permet de visualiser l'activité des neurones avec une étonnante précision dans des détails.

Le système visuel représente plus de la moitié du cortex cérébral chez les primates et se constitue vie une hiérarchie élaborée d'étapes de traitement de l'information. Il existe des zones distinctes qui traitent les motifs et les angles, par exemple, et les recherches d'Ohki ont montré que les neurones se déclenchent selon des schémas coordonnés sensibles à ces différents stimuli, avec des fonctionnalités différentes au niveau cellulaire.

"L'une des conclusions fascinantes de nos travaux est que la hiérarchie du système visuel semble traiter le bruit dans une direction opposée à celle dont les réseaux neuronaux artificiels traitent généralement les stimuli sonores", explique Ohki. "Il serait intéressant de construire un réseau neuronal artificiel qui permette une telle méthode de traitement du bruit dans le système visuel des primates.

Le groupe de recherche d'Ohki étudie en détail la façon dont le bruit est traité dans ces connexions cortico-corticales, qui semblent fondamentales pour le fonctionnement du cerveau chez les primates. Ces connexions peuvent également expliquer la plasticité du cerveau et la façon dont différentes zones peuvent être enrôlées pour le traitement de l'information si la connexion primaire est entravée.

"Par exemple, nous avons découvert que le développement du système visuel se produit chez le nouveau-né à la suite d'une activité ondulatoire à travers la rétine, qui stimule les connexions thalamo-corticales qui construisent cette structure hiérarchique", explique Ohki4.

Sans ces stimuli, les connexions ne peuvent pas se développer du cortex visuel primaire vers le cortex visuel supérieur. Par ailleurs, si ces connexions ne se développent pas, on peut s'attendre à ce que des connexions alternatives soient établies à partir d'autres zones, telles que le cortex somatosensoriel, vers le cortex visuel supérieur. Ohki suggère que cela pourrait également expliquer comment les patients aveugles utilisent le cortex visuel pour "lire" le braille, bien qu'il s'agisse d'une fonction tactile.

"Les résultats de nos études sur les primates fournissent des indications précieuses sur les troubles neuropsychiatriques humains, en particulier ceux qui sont liés à une mauvaise communication dans le cerveau. Nos techniques seront utiles pour orienter la recherche spécifique et transposer les connaissances des primates à l'homme", déclare M. Minamimoto.

"Nous espérons partager ces connaissances et cette technologie avec le monde entier et collaborer avec d'autres groupes pour faire avancer ce domaine important de la recherche sur le cerveau.