La lutte sans fin pour classer toutes les mathématiques
Au XVIIIe siècle, la biologie était entièrement axée sur la taxonomie. L'incroyable diversité du vivant rendait difficile toute conclusion sur son apparition. Les scientifiques ont d'abord dû mettre les choses dans l'ordre, en regroupant les espèces selon des caractéristiques communes – une tâche ardue . Depuis, ils ont utilisé ces grands catalogues pour comprendre les différences entre les organismes et déduire leur histoire évolutive. Les chimistes ont construit le tableau périodique dans le même but : classer les éléments et comprendre leurs comportements. Et les physiciens ont élaboré le Modèle standard pour expliquer l'interaction des particules fondamentales de l'univers.
Dans son livre Les Mots et les Choses , le philosophe Michel Foucault décrit cette préoccupation pour le tri comme une étape fondatrice des sciences. " La connaissance des individus empiriques ", écrit-il, " ne peut s'acquérir que par la tabulation continue, ordonnée et universelle de toutes les différences possibles. "
Les mathématiciens n'ont jamais dépassé cette obsession . C'est parce que la ménagerie des mathématiques fait ressembler le catalogue biologique à une ferme pédagogique. Ses habitants ne sont pas limités par la réalité physique. Toute possibilité concevable, qu'elle existe dans notre univers ou dans un univers hypothétique à 200 dimensions, doit être prise en compte. Il existe une multitude de classifications différentes à essayer – groupes, nœuds, variétés, etc. – et une infinité d'objets à trier dans chacune de ces classifications. La classification permet aux mathématiciens de comprendre le monde étrange et abstrait qu'ils étudient et de prouver des théorèmes majeurs à son sujet.
Prenons l'exemple des groupes, un objet d'étude central en mathématiques. La classification des " groupes simples finis " – les éléments constitutifs de tous les groupes – a été l'une des plus grandes réalisations mathématiques du XXe siècle. Il a fallu près de 100 ans à des dizaines de mathématiciens pour la mener à bien. Ils ont finalement découvert que tous les groupes simples finis se répartissent en trois catégories , à l'exception de 26 valeurs aberrantes détaillées. Une équipe de mathématiciens dévoués travaille sur une preuve " condensée " de la classification depuis 1994 ; elle comprend actuellement 10 volumes et plusieurs milliers de pages, et n'est toujours pas terminée. Mais cette entreprise gigantesque continue de porter ses fruits, contribuant récemment à prouver une conjecture vieille de plusieurs décennies selon laquelle on peut déduire beaucoup de choses sur un groupe en examinant une petite partie de celui-ci.
Les mathématiques, libérées des contraintes habituelles de la réalité, sont une question de possibilités. La classification offre aux mathématiciens un moyen d'explorer ce potentiel illimité.
Nouveautés et points importants
La première classification mathématique que nous apprenons à l'école primaire consiste à catégoriser les nombres : en nombres positifs et négatifs, ou en nombres fractionnaires (les rationnels) et en nombres non fractionnaires (les irrationnels). Dans un récent article de Quanta , Erica Klarreich décrit combien il peut être extrêmement difficile de prouver qu'un nombre donné est irrationnel , même si les mathématiciens le soupçonnent. Il existe également de nombreux autres types de nombres que les mathématiciens aiment étudier.
Dans d'autres domaines, les mathématiciens classent les objets selon leur " équivalence " d'une certaine manière. En topologie, deux formes sont identiques, et appartiennent donc à la même classe, si l'une peut être étirée ou comprimée dans l'autre sans se casser ni se déchirer. Un beignet est identique à une tasse à café, mais différent d'une sphère. Mais il peut s'avérer extrêmement difficile de déterminer si des objets plus complexes (et de grandes dimensions) sont identiques. Les mathématiciens cherchent encore à déterminer si toutes les formes de certaines dimensions doivent être équivalentes à une sphère, par exemple, ou si des formes plus exotiques sont autorisées. " Après des siècles d'efforts concertés ", écrit Kevin Hartnett dans ce résumé topologique , " les mathématiciens sont loin d'avoir terminé. "
De même, la classification a joué un rôle important dans la théorie des nœuds. Faites un nœud dans une ficelle, puis collez les extrémités de la ficelle ensemble : c'est un nœud mathématique. Les nœuds sont équivalents si l'un peut être emmêlé ou démêlé, sans couper la ficelle, pour correspondre à l'autre. Cette tâche, d'apparence banale, a de nombreuses applications mathématiques . En 2023, cinq mathématiciens ont progressé sur une conjecture clé de la théorie des nœuds, selon laquelle tous les nœuds ayant une certaine propriété (ce qui est " tranche " - slice) doivent également en avoir une autre (être " ruban " - ribbon), avec une preuve éliminant un contre-exemple présumé. (Soit dit en passant, je me suis souvent demandé pourquoi les théoriciens des nœuds insistent pour utiliser des noms comme adjectifs).
Les classifications peuvent aussi devenir plus méta. Les informaticiens théoriciens et les mathématiciens classent les problèmes de classification en fonction de leur " difficulté " .
Toutes ces classifications transforment l'infinitude désordonnée des mathématiques en un ordre accessible. Un premier pas vers la maîtrise du déluge qui se déverse des imaginations mathématiques.